【siniっていくつ？】三角関数を複素数に拡張するお話 |

今回は複素関数の世界に三角関数を定義します。$sin i$や$cos i$などの、実数関数では考えられないような計算ができるようになります。しっかりと覚えましょう！

これが複素関数での三角関数だ！

先に結論を書いちゃうんですけど、複素関数での三角関数はこうなります。

$$cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$
$$sinz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$
$$tanz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}$$

今回の目標は、

これらの公式を覚えて、使えるようにする

ことです。では、どうしてこうなるのかみていきましょう！！

まずは指数関数を利用しよう

いざ$sinx$に複素数を代入するっていっても、全くイメージわかないですよね。
今までは0〜2πまでの数しか入れてきませんでした。
ではどうしたらいいかというと、そういえば三角関数と複素数を結びつける重要なオイラーの公式がありました。
$$e^{i\theta}=cos{\theta}+isin{\theta}$$
この式わかんないよ！って人は、超重要公式なので先に以下の記事により確認ください。

記事をはる

導出

オイラーの公式に、$\theta=z$, $\theta=-z$をそれぞれ代入した式を作ります。
$$e^{iz}=cos{z}+isin{z}$$
$$e^{-iz}=cos{z}-isin{z}$$
こうなります。２式目は、$cos{(-z)}=cos{z}, sin{(-z)}=-sin{z}$を使いました。
上の式と下の式を足して２で割るとコサインが、上の式から下の式を引いて$2i$で割るとサインがでます。
よって、
$$cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$
$$sinz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$
ここから、サイン割るコサインをすればタンジェントが出るので、
$$tanz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}$$
となり、無事導出できました。